Расчёт сложных процентов: математика приумножения денег

Альберту Эйнштейну приписывают высказывание: "Сложные проценты — восьмое чудо света." Хотя это может показаться преувеличением, каждый, кто понимает логику расчёта сложных процентов, видит истину в этих словах. Сложные проценты — это экспоненциальный рост ваших денег со временем, поскольку проценты, которые вы зарабатываете, тоже начинают приносить проценты. В этом руководстве мы на примерах разбираем, как работают сложные проценты, чем они отличаются от простых и какой эффект создают в долгосрочной перспективе. Чтобы легко произвести расчёт, вы можете воспользоваться нашими инструментами финансовых расчётов.

Разница между простыми и сложными процентами

Единственное, что отличает два вида процентов, — это то, что делается с заработанным процентом. При простых процентах доход рассчитывается только на начальную основную сумму; заработанный процент откладывается и не реинвестируется. При сложных процентах же заработанный в конце каждого периода процент добавляется к основной сумме, и в следующем периоде проценты начисляются на эту возросшую сумму. В краткосрочной перспективе разница между двумя методами кажется небольшой, но по мере увеличения срока сложные проценты заметно вырываются вперёд. Чтобы увидеть расчёт простых процентов, вы можете воспользоваться инструментом расчёта простых процентов.

Формула сложных процентов

Основная формула сложных процентов такова:

Итоговая сумма = основная сумма × (1 + r)ⁿ

Здесь r обозначает периодическую процентную ставку (в десятичной форме), а n — число периодов. Например, если вы держите 10 000 TL под 30% годовых сложных процентов в течение 3 лет: 10 000 × (1,30)³ = 10 000 × 2,197 = 21 970 TL. Если бы вы держали те же деньги под простой процент, вы достигли бы лишь 19 000 TL. Разница в 2 970 TL целиком возникает из-за того, что "процент приносит процент".

Почему важна частота начисления сложных процентов?

То, как часто начисляются сложные проценты, влияет на результат. Та же годовая ставка при ежемесячном начислении даёт чуть более высокую доходность, чем при годовом, потому что заработанный процент чаще добавляется к основной сумме и раньше начинает приносить процент. По банковским вкладам проценты обычно начисляются в конце срока, а по некоторым продуктам — ежемесячно. По мере роста частоты начисления доходность тоже несколько возрастает, но у этого роста есть верхний предел. Вы можете наглядно увидеть влияние частоты, попробовав разные сценарии в инструменте расчёта сложных процентов.

Правило 72: за сколько лет ваши деньги удвоятся?

Практический быстрый способ для сложных процентов — "правило 72". Разделив 72 на годовую процентную ставку, вы узнаёте, примерно за сколько лет ваши деньги удвоятся. Например, при годовой доходности 24% за 72 ÷ 24 = 3 года ваши деньги удвоятся; при 12% этот срок растягивается до 6 лет. Это простое правило позволяет быстро прикинуть в уме и является самым лёгким способом увидеть силу сложного роста. Для точного результата, разумеется, используется полная формула, но правило 72 служит практическим компасом в инвестиционных решениях.

Среднегодовой темп роста (CAGR)

Если вы хотите свести показатели инвестиции за несколько лет к единой ставке, вы используете среднегодовой темп роста (CAGR). Беря начальное и конечное значения и число прошедших лет, CAGR даёт среднюю доходность, как если бы инвестиция росла каждый год с одинаковым темпом. Это способ справедливо сравнивать инвестиции с колеблющейся доходностью. Чтобы найти и сравнить среднегодовую сложную доходность двух разных инвестиций, вы можете воспользоваться инструментом расчёта CAGR.

Инфляция и реальная доходность

Оценивая доход от сложных процентов, нельзя игнорировать инфляцию. Даже если ваша номинальная доходность выглядит высокой, инфляция за тот же период снижает покупательную способность ваших денег. Реальная доходность приблизительно находится вычитанием инфляции из номинальной доходности. Например, инвестиция, приносящая 30% доходности, в условиях 25% инфляции даёт лишь около 5% реального дохода. Поэтому успешность инвестиции здоровее оценивать не только по процентной ставке, но вместе с инфляцией данного периода.

Сила регулярных инвестиций

Эффект сложных процентов проявляется в регулярных накоплениях так же, как и в разовой инвестиции. Когда вы каждый месяц вкладываете определённую сумму и реинвестируете её доход, и ваша основная сумма, и накопленный процент растут вместе. Регулярные накопления, начатые в молодом возрасте с небольших сумм, благодаря сложному эффекту за многие годы могут превзойти крупные накопления, начатые позднее. Самая ценная переменная здесь — время: чем дольше растёт инвестиция, тем заметнее эффект сложных процентов. Поэтому "начать рано" — самый часто повторяемый совет в финансовом планировании.

Два лица сложных процентов

Сложные проценты работают не только в накоплении, но и в заимствовании; на этот раз против вас. Непогашенный долг по кредитной карте или просроченный платёж, разрастаясь по сложной логике, может быстро стать неуправляемым. Та же математика создаёт богатство, когда работает в вашу пользу, и трясину долгов, когда работает против вас. Поэтому понимание сложных процентов усиливает вашу позицию и в инвестиционных решениях, и в управлении долгом. Приумножать свои накопления сложными процентами, закрывая при этом долги, не давая сложным процентам приумножать вас, — это мудрый баланс.

Доходность вкладов, облигаций и фондов

Логика сложных процентов проявляется в разных инвестиционных инструментах. По срочным вкладам, когда проценты в конце срока добавляются к основной сумме и переоцениваются, включается сложный эффект; реинвестирование процентов вместо их снятия значительно увеличивает вашу доходность в долгосрочной перспективе. По облигациям и векселям подобный рост происходит при реинвестировании купонных выплат. В инвестиционных фондах же, поскольку доходность и так автоматически переоценивается внутри фонда, сложный эффект напрямую отражается на цене фонда. Какой бы инструмент вы ни выбрали, реинвестирование дохода вместо его траты — основное условие использования силы сложных процентов. Поэтому в долгосрочном накоплении привычка "реинвестировать доход" может быть даже более определяющей, чем выбор инструмента.

Влияние налога и удержания на доходность

Между валовой доходностью инвестиции и чистой доходностью, которую вы получаете на руки, чаще всего есть разница; эту разницу создают налог и удержание. С процентов по вкладам, дохода фондов и подобных доходов удерживается определённый процент, и это удержание уменьшает сумму, подлежащую начислению. То есть расчёт сложных процентов на чистую доходность даёт картину, более близкую к реальному результату. Сравнивая две инвестиции, оценка по чистой доходности после налога, а не по валовой ставке, обеспечивает более точную оценку. В долгосрочной перспективе отражение удержания на сложном эффекте может превратить кажущиеся небольшими различия в ставках в впечатляющие суммы. Поэтому в инвестиционном решении наряду с номинальным процентом необходимо учитывать влияние налога и инфляции вместе.

Долгосрочное накопление со сложными процентами

Истинная сила сложных процентов раскрывается в долгосрочных планах накопления. В целях, нацеленных на десятилетия вперёд, таких как выход на пенсию или образование вашего ребёнка, небольшие, но регулярные инвестиции благодаря сложному эффекту достигают впечатляющих сумм. Здесь есть три определяющие переменные: сумма, которую вы вкладываете, ставка доходности и, что важнее всего, время. Время — более сильный фактор, чем два других, потому что сложный рост со временем ускоряется. Тот, кто начинает в двадцать лет с небольших сумм, может превзойти того, кто начинает с гораздо больших сумм в сорок, потому что его деньги росли дольше. Поэтому финансовые эксперты говорят: "важнее не сколько, а когда ты начал". В регулярном плане накопления вкладывать каждый период одинаковую сумму и переоценивать доход, никогда его не снимая, полностью обращает математику сложных процентов в вашу пользу. Начать рано — переменная, которую труднее всего компенсировать впоследствии за каждый упущенный год.

Часто задаваемые вопросы

Когда сложные проценты расходятся с простыми? Разница растёт с увеличением срока; два результата, близкие в первые периоды, с годами заметно расходятся в пользу сложных процентов.

Нарушится ли сложный эффект, если я сниму доход? Да; если вы снимаете заработанный процент, растёт только основная сумма, что приближает сложные проценты к простым.

Работают ли сложные проценты и на долге? Работают; в ситуациях вроде непогашенного долга по кредитной карте проценты добавляются поверх долга и растут против вас.

Что выгоднее — ежемесячное или годовое начисление сложных процентов? При той же годовой ставке ежемесячное начисление даёт чуть более высокую доходность, потому что проценты чаще добавляются к основной сумме.

Всегда ли верно правило 72? Это приблизительная оценка; при умеренных процентных ставках оно довольно точно, а при очень высоких ставках показывает небольшие отклонения.

Когда вы постигнете этот механизм, в котором заработанный вами процент тоже приносит процент, вы возьмёте в свои руки математику и приумножения накоплений, и защиты от долгов. Время и терпение — два сильнейших партнёра сложных процентов; начать рано и долго ждать превращает даже небольшие суммы во впечатляющие цифры. Оценивая инвестицию, смотреть на реальную доходность после налога и инфляции, а не на номинальную, — это способ увидеть ваш истинный доход. Точно так же переоценка дохода каждый период запускает сложный эффект в полную силу. Сравнивая разные сценарии суммы, ставки и срока, вы можете наглядно увидеть, какой план вам подходит, и воспользоваться нашими бесплатными инструментами расчёта для всех ваших инвестиционных и процентных расчётов.